Temos / Matematika

Kas yra ritinys. Jo apskaičiavimai.

Lygties sprendimas pagal Gauso metodą.

Kompleksiniai skaičiai – kas tai? Istorija. Sudėtis. Atimtis. Daugyba. Dalyba. Modulis. Pavyzdžiai. Kompleksinio skaičiaus pavaizdavimas. Literatūros sąrašas.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu. Apskaičiuokite matricos determinantą. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą. Pavaizduokite grafiškai nelygybių sistemos sprendinių aibę. Išspręskite grafiškai tiesinio programavimo uždavinį.

Naturalieji skaičiai. Matematines indukcijos principas. Neprieštaringumo dėsnis. Trečiojo negalimo dėsnis. Apibrėžimas. Matematines indukcijos principas. Archimedo aksioma. Mažiausiojo elemento principas. Dirichle (P.G.L. Dirichlet, 1805–1859) principas. Dauginimo taisyklė. Dekarto (Rene Descartes, 1596–1650) sandauga. Gretiniai, keliniai ir deriniai. Kartotiniai gretiniai. Binominių koeficientų tapatybės. Recio principas. Netvarkų uždavinys. Siurjekcijų skaičius. Stirlingo skaičiai. Skirtumo operatorius. Laipsnine generuojanti funkcija. Katalano skaičiai. Eksponentines generuojančios funkcijos. Rekurentieji sąryšiai. Rekurentieji sąryšiai. Bendra teorija. Sudėtinių funkcijų Tayloro koeficientų rekurentieji sąryšiai. Grandininės trupmenos. Pagrindines sąvokos. Grafų veiksmai. Miškas ir medžiai. Karkasinio medžio išvedimo būdai. Viena optimizavimo problema. Grafo parametrų ryšiai. Grafo viršūnių spalvinimo problema. Grafo planarumas. Grafų teorijos ir algebros sąryšiai.

Kiek laiko mokiniai keliauja iki mokyklos? Apklausos anketa. Apklausa žodžiu. Kiek laiko moksleiviai eina iki mokyklos? Variacinė eilutė. Dažnių, santykinių dažnių, sukauptųjų dažnių, sukauptųjų santykinių dažnių lentelė. Kvartiliai, moda, mediana. Vidurkis. Imties dispersija, imties standartinis kvadratinis nuokrypis. Histograma. Skritulinė diagrama. Duomenų sklaidos diagrama. Tyrimo išvados.

Įžanga. Istorija. Funkcija. Atvirkštinė funkcija. Išreikštinės ir neišreikštinės funkcijos. Hiperbolinės funkcijos. Parametrinės funkcijos lygtys. Funkcijos išvestinė, jos geometrinė prasmė. Funkcijos diferencijuomumas. Diferencijavimo taisyklės. Sudėtinės funkcijos išvestinė. Atvirkštinės funkcijos išvestinė. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas. Logaritminio diferencijavimo metodas. Parametrinėmis lygtimis duotų funkcijų diferencijavimas. Viduriniųjų reikšmių teoremos. Lagranžo teorema. Rolio teorema. Koši teorema. Lopitalio taisyklė. Diferencialas ir jo savybės. Diferencijavimo taikymas apytiksliam skaičiavimui. Aukštesnių eilių išvestinė ir diferencialai. Bendroji funkcijų tyrimo schema. Funkcijos ekstremumo radimas antros išvestinės pagalba. Kreivės asimptotės. Bendros sąvokos kelių kintamųjų funkcijų. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas. Kelių kintamųjų funkcijos daliniai ir pilni pokyčiai. Kelių kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės. Aukštesnių eilių dalinės išvestinės. Kelių kintamųjų funkcijų dalinis ir pilnas diferencialai. Sudėtinės funkcijos diferenciavimas. Neišreikštinės funkcijos diferenciavimas dalinių išvestinių pagalba. Kelių kintamųjų funkcijų aukštesnių eilių diferenciavimas. Dviejų kintamųjų funkcijų ekstremumai. Funkcijos riba taške. Vienpusės f-jos ribos. Funkcijos riba. Aprėžtosios ir neaprėžtosios funkcijos. Nykstamos funkcijos ir jų savybės. Ribų dėsniai. Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Funkcijos tolydumas taške. Tolygios funkcijos atkarpoje. Trūkiosios taškų funkcijos. Trūkio taškų tipai. Funkcijos riba taške. Vienpusės funkcijos ribos. Aprėžtosios ir neaprėžtosios funkcijos. Nykstamos funkcijos ir jų savybės. Ribų dėsniai. Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Funkcijos tolydumas taške. Tolygios funkcijos atkarpoje. Trūkiosios taškų f-jos. Trūkio taškų tipai.

Sudėtinės išvestinė. Kryptinė išvestinė. Gradientas. Sąlyginiai ekstremumai. Diferenciavimo pritaikymas apytiksliam skaičiavimui. Viduriniųjų reikšmių teoremos. Lagranžo teorema. Sudėtinės f – jos diferencijavimas. Aukštesnių eilių dalinės išvestinės. Kelių kintamųjų f – jų dalinis ir pilnas pokyčiai. Kelių kintamųjų f – jos riba ir tolydumas. Bendros sąvokos kelių kintamųjų f – jų. K. K. f – jų dalinis ir pilnas diferencialai. Kelių kintamųjų f-jos sąvoka ir geo. Vaizdavimas. Dviejų K.F. ekstremumai.

Konspektas apie geometriskai isreikstus vektorius. (Vektorius. Vektoriaus ilgis. Nulinis vektorius... )

I-osios eilės diferencialinės lygtys. Koši uždavinys. Homogeninės lygtys. Pirmos eilės tiesinė dif. lygtis. Kintamojo keitimo metodas. Pirmos eilės tiesinės dif. lygtys. Konstantos variacijos metodas. Bernulio lygtis. Pilnųjų diferencialų lygtis. Aukšt eilių dif. lygčių atskiri atvejai. Vronskio determinantas. Ostrogradskio-Liuvilio formulė. Antros eilės tiesinės homogeninės dif. lygties bendrojo spr. struktūra. Antros eilės tiesinės homog. lygties bendrojo spr. radimas, kai žinomas vanas atskirasis jos spr. Antros eilės tiesinės homog. lygties bendrojo spr. radimas, kai žinoma jos fundamentalioji spr. sistema. Antros eilės tiesinės nehomog dif. lygties bendrojo spr. struktūra. Konstantų varijavimo metodas. Antros eilės tiesinės nehomog. dif. lygtys su pastoviais koeficientais.

Jonas Kubilius ir jo mokykla – skaičių teorija, tikimybinė skaičių teorija ir tikimybių teorija.

Atsitiktiniai vektoriai n-matė pasiskirstymo funkcija. Dvimatis tolydus atsitiktinis vektorius. Nepriklausomumas. Kelių atsitiktinių dydžių (argumentų) funkcijos. Atsitiktinių vektorių skaitinės charakteristikos. Centrinės ribinės teoremos. Čerbysovo teoremos. Čebyševo nelygybės. Didžiųjų skaičių dėsnis. Montekarlo metodas. Markovo teorema. Čebišovo teorema. Bernulio teorema. Statistikos problemos ir objektas.

Vektorių lygumas. Vektorių sudėtis ir atimtis. Kelių vektorių suma. Vektoriaus daugyba iš skaičiaus. Komplanarieji vektoriai. Vektoriaus reiškimas trim nekomplanariais vektoriais. Vektoriaus koordinatės. Vektoriaus modulis. Atkarpos vidurio taškas. Vektorių skaliarinė sandauga. Skaliarinės sandaugos koordinatė. Kampas tarp dviejų vektorių. Kolinearumo sąlyga. Statmenumo sąlyga.

Dviejų vektorių vektorinė sandauga: apibrėžimas, savybės, reiškimas vektorių koordinatėmis, geometrinė prasmė. Trijų vektorių mišrioji sandauga: apibrėžimas, geometrinė prasmė, savybės, reiškimas vektorių koordinatėmis. Bendrosios plokštumos lygties išvedimas ir atskiri jos atvejai. Taško atstumas iki plokštumos. Tiesės erdvėje kanoninės ir parametrinių lygčių išvedimas. Bendroji tiesės lygtis ir jos suvedimas į kanoninę lygtį. Elipsės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, parametrai ir jų prasmė, kiti elipsės atvejai. Hiperbolės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, asimptotės, parametrai ir jų prasmė, kiti hiperbolės lygties atvejai. Parabolės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, kiti parabolės atvejai. Atvirkštinės funkcijos apibrėžimas, jos egzistavimo sąlyga. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimas, jų savybės ir grafikai. Funkcijos ribos taške apibrėžimas ir geometrinė prasmė. Vienpusės funkcijos ribos. Nykstamosios funkcijos apibrėžimas. Įrodykite teoremą apie funkcijos, jos ribos ir nykstamosios funkcijos sąryšį. Ribų dėsniai. (vieną iš jų reikia įrodyti). Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamos funkcijos. Funkcijos tolydumo taške sąvoka (trys apibrėžimai su paaiškinimais). Tolydžių atkarpoje funkcijų savybės. Funkcijos trūkio taškų klasifikacija ( su brėžiniais).

Turinys. Kas yra tikimybė? Tikimybių teorijos ir statistikos objektas. Diskrečioji elementariųjų įvykių erdvė (aibė) ir jos mato savybės. Klasikinis tikimybės apibrėžimas. Klasikinio tikimybės apibrėžimo taikymas Merė uždavinyje. Paskalio sprendimas. Geometrinės tikimybės. Susitikimo uždavinys. Teorema apie nesikertančių intervalų algebrą. Teorema apie mažiausios sigma algebros egzistavimą. Borelio sigma algebra. Tikimybinis matas mačiojoje erdvėje. Tikimybių teorijos ir statistikos aksiomų sistema (Kolmogorovo). Tikimybinė erdvė. Sąlyginių tikimybių empirinis suvokimas, apibrėžimas ir pavyzdžiai. Tikimybių daugybos teorema ir jos taikymo pavyzdys. Pilnos tikimybės formulė. Bajeso formulė. Nepriklausomi atsitiktiniai įvykiai. Teorema apie nepriklausomus ir nesutaikomus įvykius, jos taikymo pavyzdys. Atsitiktinis dydis kaip mačioji funkcija. Teorema apie jo generuotų įvykių priklausymą sigma algebrai. Tikimybių skirstinys. Trys skirstinių pavyzdžiai. Teorema apie skirstinių savybes. Bernulio schema. Diskretieji ir tolydieji skirstiniai. Pagrindiniai skirstinių tipai. Tankio savybės. Eksponentinio skirstinio charakterizacijos teorema. Styltjeso integralo apibrėžimas ir skaičiavimas tolydžiųjų ir diskrečiųjų skirstinių atvejais. Skirstinio spektras. Styltjeso integralo savybės. Diskrečiojo dydžio vidurkis ir jo fizikinė interpretacija. Draudimo modelis. Matematinio vidurkio apibrėžimai. Normaliojo, tolygiojo ir Puasono skirstinių vidurkiai. Matematinio vidurkio savybės. Teorema apie atsitiktinio dydžio funkcijos vidurkį. Aukštesnių eilių, centriniai ir absoliutieji momentai. Dispersijos apibrėžimas ir jos apskaičiavimas. Normaliojo, tolygiojo ir Puasono skirstinių dispersijos. Teoremos apie dispersijos savybes. Dispersija kaip sklaidos matas. Čebyševo nelygybė. Didžiųjų skaičių dėsnis. Bernulio teorema. Santykinis dažnis. Statistinio stabilumo fenomenas. Puasono teorema. Matavimo paklaidų empirinio vidurkio konvergavimas. Chinčino ir Markovo teoremos. Charakteristinės funkcijos ir jų savybės. Centrinė ribinė teorema. Baigiamasis žodis. Rekomenduojama literatūra.

Matricos, jų rūšys, matricų veiksmai. Determinantai, jų apskaičiavimas. Minoras ir adjunktas. Deteminantų skaič skleidžiant juo minorais. Determ sąvybės. Matricos rangas. Atvirkštinė matrica. Tiesinių lygčių sp atvirkšt mat metodu. Kramerio formulės. Gauso metodas. Kronekerio – Kapeli Teorema. Teisinių homogen lygčių sistema. Atkarpos dalijimas duotu santykiu. Dviejų vektorių skaliar sandauga. Dviejų vektor vektorinė sandauga. Trijų vektor mišrioji sandauga. Bendroji tiesės lygtis erdvėj R2. Kampas tarp dviejų tiesių. Taško atstumas iki tiesės. Apskritimas. Elipsė. Hiperbolė. Parabolė. Bendroji plokštumos lygti R3. Taško atstumas iki plokštumos. Tiesės erdvėj R3 kanoninės ir parametrinės lygtys. Kanoninės lygtys tiesės duotos 2 plokštumų susikirtimu. Lygtis tiesės einančios per 2 duotus taškus. Polinė koordinačių sistema. Skaičių seka ir jos riba. Monotoninės ir aprėžtos sekos. Skaičius e. Funkcijos riba taške. Vienpusės ribos. Funkcijos riba begalybėje. Neaprėžtai didėjančios funkcijos. Aprėžtos funkcijos. Nykstančios funkcijos, jų sąvybės. Ribų dėsniai. Neapibrėžtumai. Nykstamų funkcijų palyginimas. Tolydžios funkcijos. Funkcijos trūkio taškai.

Sinusų teorema. Uždavinys. Kosinusų teorema. Uždavinys. Uždavinys 3. Sprendimas pagal kosinusų teoremą. Sprendimas agal sinusų teoremą.

Trigonometrinės funkcijos. Uždavinys.

Teorema. Herono formulė. Uždavinys 1. Uždavinys 2. Uždavinys 3.

Tikimybių teorijos 2 uždavinys. Sprendimas. Antra užduotis.